Lesena piramida in luknja

Imamo kos lesa v obliki pravilne 6 strane piramide z obsegom osnovne ploskve 24 dm ter višino 1 m.

(a) Izračunaj površino te piramide

(b) V to piramido izvrtamo valjasto luknjo s polmerom 2 dm. Izračunaj prostornino nastalega telesa.

(a)
$o=24 cm$
$h=10 dm$

$o=6a$

$a={o\over 6}={24\over 6}=4dm$

$S=O+pl$

Osnovno ploskev v tem primeru sestavlja 6 enakostraničnih trikotnikov. Ploščina enakostraničnega trikotnika se izračuna:

$S_{et}={{a^2 \sqrt{3}}\over 4}$

Zato je $O$ :

$O=6\cdot S_{et}=6\cdot {{a^2 \sqrt{3}}\over 4} = {{3 a^2 \sqrt{3}}\over 2}$

Plašč sestavlja 6 enakokrakih trikotnikov. Kot za vsak trikotnik se tudi za enakokrak trikotnik ploščina izračuna kot polovica produkta dolžine stranice in višine na to stranico. V našem primeru:

$S_{t}={{a\cdot v_a}\over 2}$

Problem je višina $v_a$ , ki je ne poznamo. Seveda s podatki, ki so na voljo, lahko $v_a$ izračunamo.

Rendered by QuickLaTeX.com

Med višino piramide $h$ in višino trikotnika $v_t$ je pravi kot. Višine $h$ , $v_t$ in $v_a$ tako tvorijo pravokotni trikotnik in velja:

${v_a}^2={v_t}^2+h^2$

Za enakostranične trikotnike poznamo formulo za izračun višine trikotnika $v_t$ :

$v_t={{a\sqrt{3}}\over 2}$

Tako je:

${v_a}^2={{3a^2}\over 4}+h^2$

${v_a}^2={{3a^2+4h^2}\over 4}$

$v_a=\sqrt{{3a^2+4h^2}\over 4}={\sqrt{3a^2+4h^2}\over 2}$

Končno imamo formulo za plašč:

$pl=6\cdot {{a\cdot v_a}\over 2}=6\cdot {a\cdot {\sqrt{3a^2+4h^2}\over 2}\over 2}=3a\cdot {\sqrt{3a^2+4h^2}\over 2}$

Sedaj lahko izračunamo površino prizme:

$S=O+pl={{3 a^2 \sqrt{3}}\over 2}+3a\cdot {\sqrt{3a^2+4h^2}\over 2}={{3a}\over 2}\cdot{(a \sqrt{3}+\sqrt{3a^2+4h^2})$

$S={{3\cdot 4}\over 2}\cdot{(4 \sqrt{3}+\sqrt{3\cdot 4^2+4\cdot 10^2})=6\cdot{(4 \sqrt{3}+\sqrt{448})=168,57 dm^2$

(b)
Valj lahko izvrtamo le do določene višine $v$ .

Rendered by QuickLaTeX.com

Iz podobnosti med trikotniki sledi:

${v_t\over h}={r\over {h-v}} \Rightarrow h-v={hr\over v_t} \Rightarrow v=h-{hr\over v_t}$

$v=h-{hr\over {{a\sqrt{3}}\over 2}}=h-{2hr\over{a\sqrt{3}}}=h(1-{2r\sqrt{3}\over {3a}})$

Prostornina nastalega telesa je razlika med prostornino cele piramide in valja:

$V=V_p-V_v={{O\cdot h}\over 3}-\pi r^2 v={{{{3 a^2 \sqrt{3}}\over 2}h\over 3}-\pi r^2 h(1-{2r\sqrt{3}\over {3a}})={{a^2 h\sqrt{3}}\over 2}-\pi r^2 h(1-{2r\sqrt{3}\over {3a}})=85,45 dm^3$